Алан Башунг родился в Париже 1 декабря 1947 года, но детство провел в Эльзасе, в деревушке Вингерсхайм, где жили родители отца.

Когда мальчику исполнилось 12, он поселился в парижском предместье Булонь-Бьянкур, в 14 основал свою первую группу, игравшую сначала кантри и рокабилли, а позже - ритм-н-блюз и фолк. В 1963 году команда отправилась на гастроли по стране, выступая в ресторанчиках, барах, отелях и на американских военных базах. Затем Алан устроился аранжировщиком в звукозаписывающую компанию RCA, а в 1966 году записал три собственных сингла. На протяжении нескольких лет Башунг продолжал записываться (иногда под именем David Bergen), сочинял песни для других, иногда гастролировал - без особого успеха. В 1973 году Башунг получил роль Робеспьера в мюзикле Клода-Мишеля Шенберга и примерно тогда же познакомился с певцом Диком Риверсом, став буквально его правой рукой - он писал для Риверса песни, играл в его группе итд.

Лишь в 1977 году вышел первый альбом Башунга "Roman Photos", с песнями на стихи Бориса Бергмана. Следующей работой стала пластинка "Roulette Russe"(1979), но только с выходом сингла "Gaby" о Башунге, наконец, заговорили, песня стала настоящим хитом и "Roulette Russe" был переиздан с "Gaby" в качестве бонус-трека.

Записанный в Лондоне альбом "Pizza" был выпущен в 1981 году и содержал шлягер"Vertige de l'Amour", моментально оккупировавший верхние строчки хит-парадов, тогда же певец впервые выступил в "Олимпии", а год спустя записал пластинку на стихи Сержа Гинсбура "Play Blessures".

В 80-е годы были изданы "Figure imposee" (83), "Passe le Rio Grande"(86) и "Novice"(89) - с текстами молодого поэта Жана Фока, который работал и над следующей пластинкой, "Osez Josephine" (91), записывавшейся в Брюсселе и Мемфисе и на 70% состоящей из кавер-версий песен Бадди Холли, Боба Дилана и Moody Blues. Альбом был принят очень хорошо, разошелся тиражом в 350 тысяч копий и принес Башунгу 3 "Виктории". 1993 год ознаменовался релизом бокс-сета из 9 компакт-дисков, в который вошли работы музыканта за предыдущие годы, в том числе и не издававшиеся прежде; год спустя вышел "Chatterton", записанный при участии приглашенных музыкантов Линка Рэя, Элли Маэрлин, Марка Рибо и Стефана Бельмондо. По мотивам затяжного двухгодичного турне в конце 1996 года был выпущен концертник "Confession publiques".

Изданный в 1998 году "Fantaisie Militaire" получил "Викторию", как лучший альбом года, сам Башунг был назван лучшим певцом, получив награду и в следующем году - как автор лучшего саундтрека (к фильму Пьера Жоливе "Ma petite entreprise"). В 2002 году вышел альбом "L’imprudence"